1.4.26

上次更新:2019-04-17
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解答

首先,我们将问题转化为证明三点
$$
A(a,a^3),B(b,b^3),C(c,c^3)
$$
共线,当且仅当满足
$$
a+b+c=0
$$
证明:
若 $A,B,C$ 三点共线,则直线 $AB$ 和 $BC$ 的斜率必定相等,有方程:
$$
\frac{b^3-a^3}{b-a}=\frac{c^3-b^3}{c-b}
$$
由立方差公式:
$$
\frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{b-a}=\frac{(c-b)(c^2+cb+b^2)}{c-b}
$$
化简有:
$$
b^2+ba+a^2=c^2+cb+b^2\\
ba+a^2=c^2+cb
$$
移项,将 $c$ 视为未知数:
$$
c^2+cb-ba-a^2=0
$$
利用十字相乘法进行因式分解:
$$
(a+b+c)(c-a)=0
$$
解得:
$$
c_1=-a-b,c_2=a
$$
显然 $c\ne a$ ,因此当且仅当 $a+b+c=0$ 时 $A,B,C$ 三点共线。
证毕。

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