1.4.26 #

解答 #

首先，我们将问题转化为证明三点

$$ A(a,a^3),B(b,b^3),C(c,c^3) $$

共线，当且仅当满足

$$ a+b+c=0 $$

证明： 若 $A,B,C$ 三点共线，则直线 $AB$ 和 $BC$ 的斜率必定相等，有方程：

$$ \frac{b^3-a^3}{b-a}=\frac{c^3-b^3}{c-b} $$

由立方差公式：

$$ \frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{b-a}=\frac{(c-b)(c^2+cb+b^2)}{c-b} $$

化简有：

$$ b^2+ba+a^2=c^2+cb+b^2\newline ba+a^2=c^2+cb $$

移项，将 $c$ 视为未知数：

$$ c^2+cb-ba-a^2=0 $$

利用十字相乘法进行因式分解：

$$ (a+b+c)(c-a)=0 $$

解得：

$$ c_1=-a-b,c_2=a $$

显然 $c\ne a$ ，因此当且仅当 $a+b+c=0$ 时 $A,B,C$ 三点共线。 证毕。