1.4.1 #

解答 #

即为证明组合计算公式：

$C(N, 3)$

$= N! / [(N - 3)! × 3!]$

$= [(N - 2) * (N - 1) * N] / 3!$

$= N(N - 1)(N - 2) / 6$

显然 N 必须大于等于 3。

$N = 3$ 时公式正确，只有一种组合。

$N = 4$ 时公式正确，只有四种组合。

扩展到 $N+1$ 个数，将 $N = N + 1$ 代入，可得：

$(N + 1)N(N - 1) / 6$

$N + 1$ 个数能组成的三位数组合可以这样理解

前 N 个数中取三个数的所有组合 +多出的一个数和前 N 个数中的任意取两个数的所有组合

即为 $N(N-1)(N - 2) / 6 + C(N, 2)$

变形后即为 $(N + 1)N(N - 1) / 6$

得证。